A Matemàtiques II aprofundirem en els conceptes fonamentals de l’àlgebra, l’anàlisi, la geometria i la probabilitat, desenvolupant especialment la capacitat de resoldre problemes, argumentar matemàticament, interpretar resultats i establir connexions entre diferents representacions i conceptes.

Àlgebra

Treballarem l’àlgebra com una eina per representar, generalitzar i resoldre situacions matemàtiques, posant especial èmfasi en els sistemes d’equacions i les seves interpretacions.

• Matrius: concepte, tipus, operacions i propietats.
• Determinants i les seves propietats.
• Matriu inversa i aplicacions.
• Rang d’una matriu.
• Sistemes d’equacions lineals i diferents mètodes de resolució.
• Classificació dels sistemes d’equacions segons el nombre de solucions.
• Teorema de Rouché-Frobenius.
• Discussió i resolució de sistemes amb paràmetres.
• Interpretació matricial i geomètrica dels sistemes d’equacions.
• Aplicació dels sistemes lineals a la resolució de problemes.
• Ús de recursos digitals per explorar, resoldre i verificar problemes algebraics.

Anàlisi

Estudiarem les funcions com a eines per descriure i analitzar fenòmens de canvi i variació.

• Estudi del comportament de les funcions mitjançant els límits i la continuïtat.
• Càlcul i interpretació de límits, incloent-hi les principals indeterminacions.
• Estudi de la continuïtat d’una funció i classificació de les discontinuïtats.
• Concepte de derivada i interpretació com a taxa de variació i pendent de la recta tangent.
• Càlcul de derivades i aplicació de les regles de derivació.
• Estudi de funcions a partir de la derivada: creixement i decreixement, extrems relatius, concavitat i punts d’inflexió.
• Resolució de problemes d’optimització.
• Estudi i representació de funcions polinòmiques, racionals, irracionals, exponencials, logarítmiques i trigonomètriques.
• Aplicació dels teoremes fonamentals de l’anàlisi, com el teorema de Bolzano.
• Concepte de primitiva i càlcul d’integrals indefinides.
• Integral definida i interpretació com a acumulació i àrea.
• Teorema fonamental del càlcul.
• Càlcul d’àrees delimitades per funcions.
• Aplicacions de la integral a la resolució de problemes.

Geometria

Utilitzarem el llenguatge vectorial i l’àlgebra per descriure i resoldre problemes geomètrics en l’espai.

• Vectors en l’espai i operacions amb vectors.
• Dependència i independència lineal.
• Bases i coordenades en l’espai.
• Producte escalar i les seves aplicacions.
• Producte vectorial i producte mixt.
• Interpretació geomètrica dels productes de vectors.
• Equacions de rectes i plans en l’espai en les seves diferents formes.
• Posicions relatives de rectes i plans.
• Estudi de la incidència, el paral·lelisme i la perpendicularitat.
• Càlcul d’angles i distàncies entre punts, rectes i plans.
• Resolució de problemes d’intersecció i posicions relatives.
• Interpretació geomètrica de sistemes d’equacions lineals.
• Resolució de problemes geomètrics mitjançant mètodes vectorials i analítics.

Probabilitat

Treballarem la incertesa i l’aleatorietat mitjançant models probabilístics i eines per interpretar situacions reals.

• Probabilitat condicionada i independència d’esdeveniments.
• Regla del producte i teorema de la probabilitat total.
• Teorema de Bayes i les seves aplicacions.
• Variables aleatòries discretes i contínues.
• Funció de probabilitat, funció de densitat i funció de distribució.
• Esperança matemàtica, variància i desviació típica.
• Distribució binomial i aplicacions.
• Distribució normal i aplicacions.
• Aproximació de la distribució binomial mitjançant la distribució normal.
• Interpretació de paràmetres i probabilitats en diferents models.
• Modelització de situacions aleatòries i interpretació crítica dels resultats.